题目

题型：浙江省高考真题难度：来源：

如图，椭圆与过A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，求证|AT|²=|AF₁|·|AF₂|。

答案

解：（Ⅰ）过A、B的直线方程为，
因为由题意得有惟一解，
即有惟一解，
所以（ab≠0），
故a²+4b²-4=0，
又因为，
所以a²=4b²， 从而得，
故所求的椭圆方程为。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以，
由，解得x₁=x₂=1，因此，
从而，
因为，
所以。