题目

题型：期末题难度：来源：

椭圆C ：(a>b>0) 的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为(1)求椭圆C的方程；
(2)过点D(0，4)的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐  标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率.

答案

解：(1) 由已知,a²+b²=5.又a²= b²+c²，解得a²=4，b²=1，
所以椭圆C的方程为
(2)根据题意，过点D(0，4)满足题意的直线斜率存在，
设l：y= kx +4．
联立消去y得(1+4k²)x²+32kx+60=0．
由题知Δ=(32k)²-240(1+4k²)=64k²-240>0,解得
设E，F两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则
因为OE⊥OF，所以，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以(1+k²)x₁x₂+4k(x₁+x₂)+16=0，
所以，解得
所以直线l的斜率为