题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当时,求的值域
(Ⅱ)设,若在恒成立,求实数a的取值范围
(III)设,若在上的所有极值点按从小到大排成一列,
求证:
答案
解析
(1)因为上单调递增.
,从而得到值域。
(2)因为设,若在恒成立,可以构造函数,记,则.
利用导数的思想确定最值得到参数的范围。
(3)根据
令,则.
那么可知借助于正切函数的单调区间得到结论。
解:(Ⅰ) 上单调递增.
所以函数的值域为 ……………………. 4分
(Ⅱ),记,则.
当时,,所以在上单调递增.
又,故.从而在上单调递增.
所以,即在上恒成立………….7分
当时,.
所以上单调递减,从而,
故在上单调递减,这与已知矛盾. …………….9分
综上,故的取值范围为 .
(Ⅲ)
令,则.
依题意可知,
从而. …………………….12分
又,所以. …………….14分
核心考点
举一反三
已知函数 (是自然对数的底数,).
(1)当时,求的单调区间;
(2)若在区间上是增函数,求实数的取值范围;
(3)证明对一切恒成立.
已知函数.
(1)当时,若函数在上为单调增函数,求的取值范围;
(2)当且时,求证:函数f (x)存在唯一零点的充要条件是;
(3)设,且,求证:<.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数,使得函数有唯一的极值,且极值大于?若存在,,求的取值
范围;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)如果对,总有,则称是的凸
函数,如果对,总有,则称是的凹函数.当时,利用定义分析的凹凸性,并加以证明。
已知函数.
(Ⅰ) 若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求 的值;
(Ⅱ) 求证:函数存在单调递减区间,并求出单调递减区间的长度 的取值范围.
(1)求函数的单调区间;
(2)当处取得极值时,若关于的方程上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(3)求证:当时,有
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