题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，在椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称．
（Ⅰ）现给出下列三个条件：①直线AB恰好经过椭圆E的一个焦点；②椭圆E的右焦点F到直线l的距离为2

2

；③椭圆E的左、右焦点到直线l的距离之比为

1

2

．
试从中选择一个条件以确定椭圆E，并求出它的方程；（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分）
（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，求b的值．

答案

（Ⅰ）选择条件②，∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，椭圆的右焦点坐标为（c，0）
∵右焦点F到直线l的距离为2

2

，
∴

|c+1|

2

=2

2

，
∴c=3，a=3

2

∵a²=b²+c²，
∴b²=9
∴椭圆E的方程为

x2

18

+

y2

9

=1
（Ⅱ）∵离心率e=

2

2

∴a²=2b²
∵A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
∴直线AB的斜率为-1，设直线AB的方程为y=-x+m，代入椭圆方程

x2

2b2

+

y2

b2

=1得：（3b²）x²-4mb²x+2b²m²-2b⁴=0
∴△＞0时，x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2 (m2-b2)

3

依题意，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
∴AB的中点（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在直线：y=x+1上
∵

x1+x2

2

=

2m

3

，

y1+y2

2

=

-(x1+x2)+2m

2

=

m

3

，
∴m=-3
∵椭圆E的上顶点S（0，b），以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，即AS⊥BS，即

AS

•

BS

=0，即（-x₁，b-y₁）•（-x₂，b-y₂）=0
∴x₁x₂+（b-y₁）（b-y₂）=x₁x₂+y₁y₂-b（y₁+y₂）+b²=2x₁x₂+（b+3）（x₁+x₂）+9+6b+b²=0
∴

4(9-b2)

3

-4（b+3））+9+6b+b²=0，解得b=9，b=-3（舍去）
∴b=9