题目
题型:临沂一模难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点F(1,0),设过点F的直线l交椭圆于C、D两点,若直线l绕点F任意转动时,恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2成立,求实数a的取值范围.
答案
∴M到y轴的距离d=
3 |
又圆M与x轴相切,∴当x=c时,得y2=
b4 |
a2 |
b2 |
a |
∴
b2 |
a |
3 |
∴a2-3=2a,解得a=3或a=-1(舍去),则b2=2a=6.
故所求椭圆方程为
x2 |
9 |
y2 |
6 |
(II)①当直线l垂直于x轴时,把x=1代入,得
y | 2A |
b2(a2-1) |
a2 |
∵恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2,∴2(1+
y | 2A |
y | 2A |
y | 2A |
a2-1 |
a |
解得a>
1+
| ||
2 |
1-
| ||
2 |
1+
| ||
2 |
②当l不垂直x轴时,设C(x1,y1),D(x2,y2),
直线AB的方程为y=k(x-1),代入
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,
则x1+x2=
2a2bk2 |
b2+a2k2 |
a2k2-a2b2 |
b2+a2k2 |
∵恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2,∴x12+y12+x22+y22<(x2-x1)2+(y2-y1)2,|OC|2+|OD|2<|CD|2恒成立,得x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=
(a2-a2b2+b2)k2-a2b2 |
b2+a2k2 |
由题意得,(a2-a2b2+b2)k2-a2b2<0对k∈R恒成立.
当a2-a2b2+b2>0对k∈R不是恒成立的.
当a2-a2b2+b2=0时,a=
1+
| ||
2 |
当a2-a2b2+b2<0时恒成立,∴a2<a2b-b2,即a2<(a2-1)b2=b4,
∵a>0,b>0,
∴a<b2,即a<a2-1,
∴a2-a-1>0,解得a>
1+
| ||
2 |
1-
| ||
2 |
1+
| ||
2 |
综上,a的取值范围是[
1+
| ||
2 |
核心考点
试题【点M在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三