题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:本题主要考查线面位置关系的证明、二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和计算能力.第一问,法一:利用E、F为PC、OC中点,得,由于平面,所以,利用面面垂直的判定得平面平面,因为PO为等腰三角形底边上的高,所以,由于AD是面ABCD与面PAD的交线,所以平面,又因为,所以平面,所以EF垂直面内的线AB,在中根据已知的边长可知,所以利用线面垂直的判定得平面,从而得;第二问,作出辅助线HE,AE,利用线面垂直平面ABCD,先得到面面垂直平面平面,得平面POC,所以AH垂直面内的线PC,在等腰三角形APC中,,利用线面垂直得平面AHE,则,得出为二面角的平面角,在三角形内解出的正弦值,再求;法二:第一问,要证明,只需证明,根据已知条件找出垂直关系,建立空间直角坐标系,根据边长写出各个点坐标,计算出向量和的坐标,再计算数量积;第二问,利用第一问建立的空间直角坐标系,先计算出平面PAC和平面POC的法向量,利用夹角公式直接求夹角的余弦值.
试题解析:解法一:(1)设,连接,
分别是、的中点,则,…1分
已知平面,平面,所以平面平面,
又,为的中点,则,
而平面平面,
所以平面,
所以平面,
又平面,所以; 3分
在中,,;
又,所以平面,
又平面,所以. 6分
(2)在平面内过点作交的延长线于,连接,,
因为平面,所以平面平面,
平面平面,所以平面,
平面,所以;
在中,,是中点,故;
所以平面,则.
所以是二面角的平面角. 10分
设,
而,
,则,
所以二面角的余弦值为. 12分
解法二:
因为平面,平面,所以平面平面,
又,是的中点,则,且平面平面,
所以平面. 2分
如图,以O为原点,以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
4分
,,所以. 6分
(2),,
设平面的法向量为,
则
令,得. 8分
又,,
所以平面的法向量, 10分
,
所以二面角的余弦值为. 12分
核心考点
举一反三
A.是正三棱锥 |
B.直线平面 |
C.直线与所成的角是 |
D.二面角为 |
A.-3 | B.1 | C.-3或1 | D.3或1 |
(1)求证:直线BD⊥平面OAC;
(2)求直线MD与平面OAC所成角的大小;
(3)求点A到平面OBD的距离。
(1)求证:∥平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(1)证明:∥面;
(2)求面与面所成锐角的余弦值.
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