已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，（ I）求椭圆C的方程；（ I I）问是否存在直线l：y=32x+t，使直线l与椭圆 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
（ I）求椭圆C的方程；
（ I I）问是否存在直线l：y=

x+t，使直线l与椭圆C有公共点，且原点到直线l的距离为4？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

答案

（1）∵中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
∴c=2，左焦点F′（-2，0），
∴2a=|AF|+|AF′|=

(2+2)2+32

(2-2)2+32

=8，
解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，所以b²=12，故椭圆C的方程为

=1．
（2）假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=

x+t，
由

x+t

，得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直线l与椭圆有公共点，∴△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，
解得-4

≤t≤4

，
∵直线OA与l的距离4=

|t|

，从而t=±2

，
由于±2

∉[-4

，4

]，
所以符合题意的直线l不存在．

核心考点

试题【已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，（ I）求椭圆C的方程；（ I I）问是否存在直线l：y=32x+t，使直线l与椭圆】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为

，焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求以椭圆C长轴的端点为焦点，离心率e=

的双曲线的标准方程．

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过点（3，-2）且与椭圆

有相同焦点的椭圆方程为（　　）

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热门考点

已知离心率为

的椭圆E：

=1（a＞b＞0）的焦距为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若某圆的圆心为坐标原点O，该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

⊥

，求该圆的方程，并求|AB|的最大值．

求下列双曲线的标准方程．
（1）与椭圆

=1共焦点，且过点(1，

)的双曲线；
（2）与双曲线

=1有相同渐近线，且过点(2

，1)的双曲线．

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点M(1，

)在椭圆C上，抛物线E以椭圆C的中心为顶点，F₂为焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点．
①若F₁B⊥F₂B，求|AF₂|-|BF₂|的值；
②试探究：线段AB与F₂D的长度能否相等？如果|AB|=|F₂D|，求直线l的方程．