已知椭圆的中心在坐标原点,两个顶点在直线x+2y-4=0上,F1是椭圆的左焦点. (1)求椭圆的标准方程; (2)设点P是椭圆上的一个动点,求线段PF1的中点M的轨迹方程; (3)若直线l:y=x+m与椭圆交于点A,B两点,求△ABO面积S的最大值及此时直线l的方程. |
(1)由题意可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). ∵两个顶点在直线x+2y-4=0上,∴分别令x=0,可得b=y=2;令y=0,可得a=x=4. ∴椭圆的标准方程为+=1; (2)由(1)可得:c==2. ∴F1(-2,0). 设线段PF1的中点M(x,y),则P(2x+2,2y). ∵点P是椭圆上的一个动点,∴+=1. 化为+y2=1. (3)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,消去y得到5x2-8mx+4m2-16=0. ∵直线l:y=x+m与椭圆交于点A,B两点,∴△>0,即m2<20.(*) ∴x1+x2=,x1x2=. ∴|AB|===. 又点O到直线l的距离d=. ∴S△OAB=d•|AB|=, ∴=≤()2=80,当且仅当m2=10时取等号,满足(*). ∴S△OAB≤4. ∴△ABO面积S的最大值为4. 此时直线l的方程为y=x±. |
核心考点
试题【已知椭圆的中心在坐标原点,两个顶点在直线x+2y-4=0上,F1是椭圆的左焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点P是椭圆上的一个动点,求线段PF1的中点M的轨】;主要考察你对
椭圆等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,F1,F2分别为其左、右焦点,抛物线y2=-4x的焦点为F1. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过焦点F1的直线l与椭圆C交于P,Q两点,求△F2PQ面积的最大值. |
已知椭圆的两个焦点是(-3,0),(3,0),且点(0,2)在椭圆上,则椭圆的标准方程是( ) |