题目

题型：江苏期中题难度：来源：

已知直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆C：x²+y²﹣6x+12y+20=0．
（1）m∈R时，证明l与C总相交；　
（2）m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长．

答案

解：（1）将直线l变形得：2m（x﹣4）+（y+3）=0，
可得出直线l恒过A（4，﹣3），
将圆C化为标准方程得：（x﹣3）²+（y+6）²=25，
∴圆心C为（3，﹣6），半径r=5，
∵点A到圆心C的距离d==＜5=r，
∴点A在圆内，则l与C总相交；
（2）∵直径AC所在直线方程的斜率为=3，
∴此时l的斜率为﹣，
又2mx﹣y﹣8m﹣3=0变形得：y=2mx﹣8m﹣3，
即斜率为2m，
∴2m=﹣，即m=﹣，
此时圆心距d=|AC|=，
又半径r=5，
l被C截得的弦长为2=2．