题目

题型：河南模拟难度：来源：

选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为

x= 1 2 +tcosα y=tsinα

（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρ=

2cosθ

sin2θ

，
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程：
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．

答案

（I ）由ρ=

2cosθ

sin2θ

，得（ρsinθ）²=2ρcosθ，化为直角坐标方程为y²=2x．
（II）将直线l的参数方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则
t₁+t₂=

2cosα

sin2α

，t₁t₂=-

1

sin2α

∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

4cos2α sin4α + 4 sin2α

=

2

sin2α

当α=

π

2

时，sin²α取得最大值1，从而|AB|的最小值为2．