题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切
点为H.求证：（1）C，D，F，E四点共圆；
（2）GH²=GE·GF.

答案

（1）连接BC.∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°.
∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.
又∠EAG=∠BAC，
∴∠ABC=∠AEG.
又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG.
∴∠FDC+∠CEF=180°.
∴C，D，F，E四点共圆.                                                     7分
（2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，
∴GH²=GC·GD.
由C，D，F，E四点共圆，
得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.
∴△GCE∽△GFD.∴=，
即GC·GD=GE·GF.
∴CH²=GE·GF.        

解析

（1）连接BC.∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°.
∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.
又∠EAG=∠BAC，
∴∠ABC=∠AEG.
又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG.
∴∠FDC+∠CEF=180°.
∴C，D，F，E四点共圆.                                                     7分
（2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，
∴GH²=GC·GD.
由C，D，F，E四点共圆，
得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.
∴△GCE∽△GFD.∴=，
即GC·GD=GE·GF.
∴CH²=GE·GF.                                                            14分