题目

题型：不详难度：来源：

直线ax＋by＝1与圆x²＋y²＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最小值为________．

答案

－1

解析

根据题意画出图形，如图所示，

过点O作OC⊥AB于C，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又|OA|＝|OB|＝1，根据勾股定理得|AB|＝，∴|OC|＝|AB|＝.
∴圆心到直线的距离为＝，即2a²＋b²＝2，即a²＝－b²＋1≥0.
∴－≤b≤.则点P(a，b)与点(0,1)之间距离d＝＝＝.
设f(b)＝b²－2b＋2＝(b－2)²，此函数为对称轴为x＝2的开口向上的抛物线，∴当－≤b≤<2时，函数为减函数．
∵f()＝3－2，∴d的最小值为＝＝－1