题目

题型：不详难度：来源：

求证：如果一个平面经过一条线段的中点，那么这条线段的两个端点到平面的距离相等.

答案

见解析

解析

已知：线段AB的中点为O，O∈平面α.
求证：A、B两点到平面α的距离相等.
证明：(1)当线段在平面α上时，A、B两点显然到平面α的距离相等且为0.
(2)当线段AB不在平面α上时，作AA₁⊥α，BB₁⊥α，A₁和B₁为垂足，则AA₁，BB₁分别是A、B到平面α的距离；且AA₁∥BB₁，AA₁、BB₁确定平面β，β∩α＝A₁B₁
∵O∈AB,，ABβ
∴O∈β，又O∈α
∴O∈A₁B₁
∴AA₁⊥A₁O，BB₁⊥B₁O
∵∠AOA₁＝∠BOB₁，AO＝BO
∴Rｔ△AA₁O≌Rｔ△BB₁O
∴AA₁＝BB₁，即线段AB的两个端点到平面α的距离相等.