已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2. (Ⅰ)AB的中垂线经过点P(0,2),求直线A的方程; (Ⅱ)AB的中垂线交x轴于点M,△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程. |
方法一: (I)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意, 所以设直线AB的方程为y=kx+b,代入方程y2=4x得:k2x2+(2kb-4)x+b2=0 ∴x1+x2==2,…(2分) 得:b=-k, ∴直线AB的方程为y=k(x-1)+, ∵AB中点的横坐标为1, ∴AB中点的坐标为(1,) …(4分) ∴AB的中垂线方程为y=-(x-1)+=-x+, ∵AB的中垂线经过点P(0,2),故=2,得k= …(6分) ∴直线AB的方程为y=x-,…(7分) (Ⅱ)由(I)可知AB的中垂线方程为y=-x+, ∴M点的坐标为(3,0)…(8分) 因为直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0, ∴M到直线AB的距离d== …(10分) 由得y2-ky+2-k2=0, y1+y2=,y1y2=, |AB|=|y1-y2|= …(12分) ∴S△AMB=4(1+),设=t,则0<t<1, S=4t(2-t2)=-4t3+8t,S′=-12t2+8,由S′=0,得t=, 即k=±时Smax=, 此时直线AB的方程为3x±y-1=0.…(15分) (本题若运用基本不等式解决,也同样给分) 法二: (1)根据题意设AB的中点为Q(1,t),则kAB== …(2分) 由P、Q两点得AB中垂线的斜率为k=t-2,…(4分) 由(t-2)•=-1,得t=,…(6分) ∴直线AB的方程为y=x-,…(7分) (2)由(1)知直线AB的方程为y-t=(x-1),…(8分) AB中垂线方程为y-t=-(x-1),中垂线交x轴于点M(3,0), 点M到直线AB的距离为d==,…(10分) 由得:4x2-8x+(t2-2)2=0, ∴|AB|=|x1-x2|=,x1+x2=2,x1x2= ∴S=|AB|•d==≤=, 当t2=时,S有最大值,此时直线AB方程为3x±y-1=0…(15分) |
核心考点
试题【已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2.(Ⅰ)AB的中垂线经过点P(0,2),求直线A的方程;(Ⅱ)AB的中垂】;主要考察你对
直线方程的几种形式等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知椭圆w的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,离心率为,△ABC的顶点A,B在椭圆w上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l. (1)求椭圆w的方程; (2)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积; (3)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程. |
过点A(1,0)作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交于M、N两点,则|MN|=______. |
已知点P在直线2x-y+4=0上,且到x轴的距离是到y轴的距离的倍,则点P的坐标是 ______. |
直线l1:x+my+1=0与l2:x-y+2=0垂直,则m=______. |
已知抛物线x2=2py(p为常数,p≠0)上不同两点A、B的横坐标恰好是关于x的方程x2+6x+4q=0(q为常数)的两个根,则直线AB的方程为______. |