题目

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA₁上的点，二面角M-DE-A为30°。

（1）证明：A₁B₁⊥C₁D；
（2）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离。

答案

解：（1）证明：连结CD
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴平面
∴CD为C₁D在平面ABC内的射影
∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点
∴
∴
∵
∴。
（2）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF
∵D、E分别为AB、BC的中点
∵
又
∴
∵AF为MF在平面ABC内的射影
∴
∴为二面角的平面角，
在Rt△MAF中，，
∴
作，垂足为G
∵
∴平面AMF
∴平面MDE⊥平面AMF
∴AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，，AF=
∴
即A到平面MDE的距离为
∵
∴CA∥平面MDE
∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为。