题目

题型：江西省高考真题难度：来源：

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2，E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A₁、B₁、C₁，已知OA₁=，
（1）求证：B₁C₁⊥面OAH；
（2）求二面角O-A₁B₁-C₁的大小．

答案

（1）证明：依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC，
则EF∥平面OBC，所以EF∥，
又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则，
因为OA⊥OB，OA⊥OC，
所以OA⊥面OBC，则OA⊥，
因此⊥面OAH。（2）解：作ON⊥于N，连，
因为，
根据三垂线定理知，，
就是二面角的平面角，
作于M，则EM∥OA，
则M是OB的中点，则EM=OM=1，
设，由得，，解得x=3，
在中，，
则，
所以，
故二面角为。