题目

题型：上海高考真题难度：来源：

如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等。（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=PA，求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF
又∵截面DEF∥底面ABC，
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，
∴P-ABC是正四面体。（2）取BC的中点M，连接PM，DM，AM
∵BC⊥PM，BC⊥AM，
∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，
则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角
由（1）知，P-ABC的各棱长均为1，
∴PM=AM=，由D是PA的中点，得
sin∠DMA=，
∴∠DMA=arcsin。（3）存在满足条件的直平行六面体
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V
设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，
则该六面体棱长和为6，体积为sinα=V
∵正四面体P-ABC的体积是，
∴0＜V＜，0＜8V＜1
可知α=arcsim（8V）
故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求。