题目

题型：广东省期中题难度：来源：

如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙），
（Ⅰ）求证：AB∥平面DNC；
（Ⅱ）当DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30°？

答案

解：（Ⅰ）MB∥NC，MB平面DNC，NC平面DNC，
∴MB∥平面DNC，
同理MA∥平面DNC，
又MA∩MB=M，且MA，MB平面MAB，
∴。（Ⅱ）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，连结HN，
∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，
∴∠DHN为二面角D-BC-N的平面角，
∴∠DHN=30°，
由MB=4，BC=2，∠MCB=90°知∠MBC=60°，
，
∴NH=3·sin60°=，
由条件知：，
∴。