解：（1）取PC的中点H，连接FH，EH，
因为E、F分别是AB、PD的中点．
所以FH∥DC，FH=DC，
又AB∥DC，∴FH∥AE，并且FH=AE．
∴四边形AEHF是平行四边形，
∴AF∥EH，
∴EH平面PEC，AF平面PEC，
所以AF∥平面PEC；
（2）连接AC，因为PA⊥平面ABCD，
所以PC与平面ABCD所成的角的大小，就是∠PCA；
因为底面ABCD是矩形，PA=AD=1，AB=2，
所以AC==，
在Rt△PAC中∴tan∠PCA==，∠PCA=arctan．
（3）延长CE至O，使得AOCE于O，连接PO，
因为PA⊥平面ABCD，
所以∠POA就是二面角P﹣EC﹣D的大小，

在Rt△AOE与Rt△EBC中，易得Rt△AOE∽Rt△EBC，
所以，EC=，
所以AO===，
在Rt△PAO中，tan∠POA===，
所以所求的二面角P﹣EC﹣D的大小为：arctan．

核心考点

试题【已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）】；主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．
（1）证明PA∥平面BDE；
（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

题型：四川省月考题难度：| 查看答案

如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C、BB₁A₁A为全等的矩形，并且AB=1，BB₁=2，AB⊥侧面BB₁C₁C，D为棱C₁C上异于C、C₁的一点，且DB⊥DA₁．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角A﹣DB₁﹣A₁的余弦值．

题型：安徽省模拟题难度：| 查看答案

如图，在多面体ABCD﹣EF中，四边形ABCD为正方形，EFAB，EF⊥EA，AB=2EF，
∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EH平面FAC；
（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的大小．

题型：北京模拟题难度：| 查看答案

已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角B﹣OA﹣C的大小是[     ]
 A．
B．
C．
D．

题型：四川省模拟题难度：| 查看答案

如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C_l中，AB=AC=AA₁=2，面ABC₁⊥面AA_lC_lC，∠AA_lC_l=
∠BAC₁=60⁰，AC₁与A₁C相交于0．
（1）求证．BO⊥面AA_lC_lC；
（2）求三棱锥C₁﹣ABC的体积；
（3）求二面角A₁﹣B₁C₁﹣A的余弦值．

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