题目
题型:河东区一模难度:来源:
(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求证:BF∥平面ACE;
(Ⅲ)求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值.
答案
(Ⅰ)证明:因为PA⊥底面ABCD,CD⊂面ABCD,所以PA⊥CD,
又因为直角梯形ABCD中,AC=2
2 |
2 |
所以AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD,
又PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC;…(4分)
(Ⅱ)解法一:如图,连接BD,交AC于O,取PE中点G,连接BG,FG,EO,则在△PCE中,FG∥CE,
又EC⊂平面ACE,FG⊄平面ACE,所以FG∥平面ACE,
因为BC∥AD,所以
BO |
OD |
GE |
ED |
又OE⊂平面ACE,BG⊄平面ACE,所以BG∥平面ACE,
又BG∩FG=G,所以平面BFG∥平面ACE,
因为BF⊂平面BFG,所以BF∥平面ACE.…(10分)
解法二:如图,连接BD,交AC于O,取PE中点G,
连接FD交CE于H,连接OH,则FG∥CE,
在△DFG中,HE∥FG,则
GE |
ED |
FH |
HD |
1 |
2 |
在底面ABCD中,BC∥AD,所以
BO |
OD |
BC |
AD |
1 |
2 |
所以
FH |
HD |
BO |
OD |
1 |
2 |
所以BF∥平面ACE.…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,CD⊥平面PAC,所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角,
在Rt△PCD中,CD=2
2 |
PA2+AD2 |
5 |
所以sin∠DPC=
CD |
PD |
2
| ||
2
|
| ||
5 |
所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为
| ||
5 |
核心考点
试题【如图所示四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4,E为PD的中点,F为PC中点.(Ⅰ)】;主要考察你对线面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求证:A1O⊥平面ABC;
(Ⅱ)若E为BC1的中点,求证:OE∥平面A1AB;
(III)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值.
(1)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.
如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(1)求证:DC⊥平面ABC;
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦;
(3)求二面角B-EF-A的余弦.
(1)求证:BD⊥平面POA
(2)设AO∩BD=H,当O为CH中点时,若点Q满足
AQ |
QP |
AD |
DB |
CE |
EA |
1 |
2 |
(1)求证:A1D丄平面BCED;
(2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为600?若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由.
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