题目
题型:韶关二模难度:来源:
如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(1)求证:DC⊥平面ABC;
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦;
(3)求二面角B-EF-A的余弦.
答案
(1)证明:在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°,∠ABD=90°
即AB⊥BD(2分)
在图乙中,∵平面ABD⊥平面BDC,且平面ABD∩平面BDC=BD
∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥CD.(4分)
又∠DCB=90°,∴DC⊥BC,且AB∩BC=B
∴DC⊥平面ABC.(5分)
(2)解法1:∵E、F分别为AC、AD的中点
∴EF∥CD,又由(1)知,DC⊥平面ABC,
∴EF⊥平面ABC,垂足为点E
∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角(7分)
在图甲中,∵∠ADC=105°,∴∠BDC=60°,∠DBC=30°
设CD=a则BD=2a,BC=
3 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴在Rt△FEB中,sin∠FBE=
EF |
FB |
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4 |
即BF与平面ABC所成角的正弦值为
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4 |
解法2:如图,以B为坐标原点,BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示,
设CD=a,则BD=AB=2a,BC=
3 |
2 |
可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),C(
3 |
2 |
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2 |
∴
CD |
1 |
2 |
| ||
2 |
BF |
设BF与平面ABC所成的角为θ
由(1)知DC⊥平面ABC
∴cos(
π |
2 |
| ||||
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a•
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| ||
4 |
∴sinθ=
| ||
4 |
(3)由(2)知FE⊥平面ABC,
又∵BE⊂平面ABC,AE⊂平面ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE,
∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角(12分)
在△AEB中,AE=BE=
1 |
2 |
1 |
2 |
AB2+BC2 |
| ||
2 |
∴cos∠AEB=
AE2+BE2-AB2 |
2AE•BE |
1 |
7 |
即所求二面角B-EF-A的余弦为-
1 |
7 |
核心考点
试题【如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)】;主要考察你对线面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:BD⊥平面POA
(2)设AO∩BD=H,当O为CH中点时,若点Q满足
AQ |
QP |
AD |
DB |
CE |
EA |
1 |
2 |
(1)求证:A1D丄平面BCED;
(2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为600?若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由.
(I)证明:AC⊥B1D;
(II)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.
AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.
(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为