题目
题型:湖南难度:来源:
(I)证明:AC⊥B1D;
(II)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.
答案
又∵AC⊥BD,BB1、BD是平面BB1D内的相交直线
∴AC⊥平面BB1D,
∵B1D⊂平面BB1D,∴AC⊥B1D;
(II)∵AD∥BC,B1C1∥BC,∴AD∥B1C1,
由此可得直线B1C1与平面ACD1所成的角,等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)
连接A1D,
∵直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=∠B1A1D1=90°,
∴B1A1⊥平面A1D1DA,结合AD1⊂平面A1D1DA,得B1A1⊥AD1
又∵AD=AA1=3,∴四边形A1D1DA是正方形,可得AD1⊥A1D
∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线,∴AD1⊥平面A1B1D,可得AD1⊥B1D,
由(I)知AC⊥B1D,结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD,从而得到∠ADB1=90°-θ,
∵在直角梯形ABCD中,AC⊥BD,∴∠BAC=∠ADB,从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此,
AB |
DA |
BC |
AB |
BC•DA |
3 |
连接AB1,可得△AB1D是直角三角形,
∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21,B1D=
21 |
在Rt△AB1D中,cos∠ADB1=
AD |
B1D |
3 | ||
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7 |
即cos(90°-θ)=sinθ=
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7 |
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7 |
核心考点
试题【如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(I)证明:AC⊥B1D;(II)求直线B1C】;主要考察你对线面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.
(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为