题目
题型:怀化二模难度:来源:
π |
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(1)求证:平面VAB⊥平面VCD;
(2)当角θ变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.
答案
法一(几何法):
证明:(1)∵AC=BC=a
∴△ACB是等腰三角形,
又D是AB的中点∴CD⊥AB,
又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB
于是AB⊥平面VCD.
又AB⊂平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD
(2)过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H,连接BH
则由(1)知AB⊥CH,∴CH⊥平面VAB
于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.
在Rt△CHD中,CD=
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2 |
设∠CBH=φ,在Rt△BHC中,CH=asinφ∴
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2 |
π |
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又0≤φ≤
π |
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π |
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即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0,
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法二(向量法):
证明:(1)以CA,CB,CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D(
a |
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a |
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于是,
VD |
a |
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a |
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CD |
a |
2 |
a |
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AB |
从而
AB |
CD |
a |
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a |
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1 |
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1 |
2 |
同理
AB |
VD |
a |
2 |
a |
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1 |
2 |
1 |
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即AB⊥VD.又CD∩VD=D,∴AB⊥平面VCD.
又AB⊂平面VAB.∴平面VAB⊥平面VCD.
(2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ,平面VAB的一个法向量为n=(x,y,z),
则由n•
AB |
VD |
得
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可取n=(1,1,
2 |
BC |
于是sinφ=|
n•
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|n|•|
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a | ||
a•
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| ||
2 |
∵0<θ<
π |
2 |
| ||
2 |
又0≤φ≤
π |
2 |
π |
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即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0,
π |
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核心考点
试题【如图,在三棱锥V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ(0<θ<π2).(1)求证:平面VAB⊥平面VCD;(】;主要考察你对线面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)证明:AD⊥BD;
(2)若二面角P-BC-D为
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