题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
如图1，在等腰梯形中，，，，为上一点， ，且．将梯形沿折成直二面角，如图2所示．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设点关于点的对称点为，点在所在平面内，且直线与平面所成的角为，试求出点到点的最短距离．

答案

(1)根据题意平几知识易得 ，同时 ，可知是二面角的平面角，从而得到证明。
(2)

解析

试题分析：解：（Ⅰ）在图1中，由平几知识易得，
在图2中，∵，
∴是二面角的平面角，
∵二面角是直二面角，∴.
∵，平面，平面，
又平面，平面平面． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两互相垂直，
以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．…6分

则，，，，，,
，.
设平面的一个法向量为，
则，即. 取，得.
设，则.
直线与平面所成的角为，
，
即，化简得，
从而有
，
所以，当时，取得最小值.
即点到点的最短距离为．
点评：本小题通过对基本知识的考查，培养空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识。