题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:本题考查线面平行的判定以及二面角的求法.线面平行的判断:①判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;②性质:如果两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面;③性质:如果两条平行线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面或在这个平面内;④性质:如果一条直线平行于两个平行平面中的一个,那么这条直线也平行于另一个平面或在这个平面内;⑤性质:如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行.第一问是利用线面平行的判定定理证明;第二问建立空间直角坐标系是关键,利用向量法得到平面的一个法向量为,和平面的一个法向量为,再利用夹角公式求夹角的余弦,但是需判断夹角是锐角还是钝角,进一步判断余弦值的正负.
试题解析:(Ⅰ)连结,由题意,可知,
故四边形是平行四边形,所以.
又平面,平面,
所以平面. 5分
(Ⅱ)由题意,两两垂直,
以为轴,为轴建立空间直角坐标系.
设,则,,,.
设平面的一个法向量为,
则,,
又,,
所以,取.
同理,得平面的一个法向量为.
因为,又二面角为钝角,
所以二面角的余弦值. 12分
核心考点
举一反三
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)设,求点到平面的距离.
(1)证明平面;
(2)证明平面平面.
A.若,则; |
B.若则; |
C.若,则; |
D.若,则. |
A.若,则; |
B.若则; |
C.若,则; |
D.若,则. |
(1) 求证:;
(2) 若平面平面,且为的中点,求四棱锥的体积.
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