题目

题型：不详难度：来源：

如图,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴转动.

(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.

答案

(1)2   (2)见解析

解析

(1)取AB的中点E,
连接DE,CE,

因为△ADB是等边三角形,
所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,
因为平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE.
由已知可得DE=,EC=1,
在Rt△DEC中,CD==2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明:
①当D在平面ABC内时,
因为AC=BC,AD=BD,
所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时,
由(1)知AB⊥DE.
又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE.
由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.
综上所述,总有AB⊥CD.