题目

题型：不详难度：来源：

由平面α外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A、B、C，O为△ABC的外心，求证：OP⊥α.

答案

见解析

解析

学生错解：证明：因为O为△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以△POA，△POB，△POC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以OP⊥α.
审题引导：要记OP⊥α，需记OP垂直于α内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP垂直于△ABC的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC、OBC，不准找到证题途径．
规范解答：证明：取BC的中点D，连结PD、OD，
∵PB＝PC，OB＝OC，∴BC⊥PD，BC⊥OD，(5分)
又PD平面POD，OD平面POD，且PD∩OD＝D，∴BC⊥平面POD.(8分)
∵PO平面POD，∴BC⊥PO.
同理AB⊥PO.(12分)
又AB、BC是α内的两条相交直线，∴PO⊥α.(14分)
错解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明．