如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF. - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝

，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.

答案

见解析

解析

取AD中点G，连结PG、BG、BD.

因为PA＝PD，有PG⊥AD，在△ABD中，AB＝AD，∠DAB＝60°，故△ABD为等边三角形，因此BG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，AD⊥PB，AD⊥GB.又PB∥EF，得AD⊥EF，而DE∥GB，得AD⊥DE.又FE∩DE＝E，EF

平面DEF，DE

平面DEF，所以AD⊥平面DEF.

核心考点

试题【如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.】；主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，已知∠ACB＝90°，M为A₁B与AB₁的交点，N为棱B₁C₁的中点．

(1)求证：MN∥平面AA₁C₁C；
(2)若AC＝AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC.

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如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.现给出三个条件：①PB＝

；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；

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在空间四边形ABCD中，已知AC⊥BD,AD⊥BC,求证：AB⊥CD.

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如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

AD.若E、F分别为PC、BD的中点，求证：

(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PDC.

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设a、b为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且b⊥α，则a∥b；③若a∥α且a∥β，则α∥β；④若a⊥α且a⊥β，则α∥β.其中为真命题的是________．(填序号)

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