题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:平面FGH∥平面BDE;
(2)求证:平面ACF⊥平面BDE.
答案
解析
(1)如图,设AC与BD交于点O,连结OE、OH.由已知EF=AB,得EF∥AB.
∵OH∥=AB,∴EF∥=OH,∴四边形OEFH为平行四边形,∴FH∥EO.
∵G、H分别为DC、BC的中点,∴GH∥DB.∴平面FGH∥平面BDE.
(2)由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC,
而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.∵FH平面BFC,∴EF⊥FH.
∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,∴FH⊥平面ABCD.
∴FH⊥AC.又FH∥EO,∴AC⊥EO.又AC⊥BD,∴AC⊥平面BDE.
又AC平面ACF,∴平面ACF⊥平面BDE.
审题引导:(1)探索求解过程的关键是弄清线线平行线面平行面面平行;线线垂直线面垂直面面垂直;不要跳步造成错误,如本例(1),易出现由线线平行直接推得面面平行,从而导致证明过程错误.(2)正确理解运用线线、线面、面面的平行、垂直关系的判定定理和性质定理,特别注意将条件写完整,不可遗漏,如本例(2)在证明线、面垂直时,没有指出线线相交,就直接写出线面垂直,造成导致证明过程不严谨.
规范解答:证明:(1)设AC与BD交于点O,连结OE、OH,由已知EF=AB,得EF∥AB.(2分)
∵OH∥=AB,∴EF∥=OH,∴四边形OEFH为平行四边形,∴FH∥EO.(4分)
∵FH∥平面BDE,EO平面BDE,∴FH∥平面BDE.
∵G、H分别为DC、BC的中点,∴GH∥DB.
∵GH平面BDE,DB平面BDE,∴GH∥平面BDE.又∵FH∩GH=H,
∴平面FGH∥平面BDE.(6分)
(2)由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC,(8分)
而EF⊥FB,BC∩FB=B,∴EF⊥平面BFC.FH平面BFC,∴EF⊥FH.(10分)
∴AB⊥FH,又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABCD.
∴FH⊥AC,又FH∥EO,∴AC⊥EO.(12分)又AC⊥BD,EO∩BD=O,∴AC⊥平面BDE.
又AC平面ACF,∴平面ACF⊥平面BDE.(14分)
错因分析:证明两平面平行、垂直关系时一定要正确运用两平面平行或垂直的判定定理,并将相应的条件写全.本题(1)直接由线线平行推得面面平行,不符合面面平行的判定定理,导致证明过程不严谨.(2)在证明线、面垂直时,没有指出相交的条件;导致证题过程不正确.
核心考点
试题【如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,G、H分别为DC、BC的中点.(1】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
①若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
③若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,真命题是________.(填序号)
图①图②
(1)AE⊥BD;
(2)平面PEF⊥平面AECD.
(1)求证:MN∥平面CDE;
(2)当平面PAB⊥平面CDE时,求t的值.
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