题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
答案
解析
试题分析:本题中由于垂直关系较多,由题意易得两两相互垂直,因此可以他们分别为轴建立空间直角坐标系,若设,则,,,,,
这样第(1)题证明线面垂直,计算出,就能证得结论;而第(2)题只要求出平面和平面的法向量,这两个法向量的夹角与所求二面角一定是相等或互补,其中平面是坐标平面平面,其法向量可取,从而只要再求一个法向量即可.当然如果不用空间向量,也可直接证明,第(1)题只要用平面几何知识在直角梯形中证得,又有,线面垂直易得,为此取中点,可得是正方形,,接着可得,正好辅助线就是所求二面角的棱,可证就是平面角,这个角是.
试题解析:(1)由已知,,,两两垂直,可以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. (1分)
设,则,,,,
故,,, (3分)
因为,,故,,
即,, (5分)
所以,平面. (6分)
(2)因为平面,所以可取平面的一个法向量
为, (1分)
点的坐标为,则,,(2分)
设平面的一个法向量为,则,,
故即取,则,
故. (5分)
设与的夹角为,则. (7分)
所以,平面与平面所成的锐二面角的大小为. (8分)
解法二:
(1)因为平面,所以, (1分)
作,为垂足,则四边形是正方形,设,则,,
又,所以是的中点,,所以,
所以,所以. (5分)
所以,平面. (6分)
(2)连结,由(1)知,又,所以平面,(2分)
所以,所以为所求二面角的平面角. (4分)
因为△是等腰直角三角形,所以. (7分)
所以,平面与平面所成的锐二面角的大小为. (8分)
核心考点
举一反三
A. | B. | C. | D. |
①设m为直线,为平面,且m,则“m//”是“”的充要条件;
②的展开式中含x3的项的系数为60;
③设随机变量~N(0,1),若P(≥2)=p,则P(-2<<0)=;
④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立,则m的取值范围是(,2);
⑤已知奇函数满足,且0<x<时,则函数在[,]上有5个零点.
其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号).
(1)EF//平面MNCB;
(2)平面MAC平面BND.
A.若m//,n//,则m//n | B.若m//,m//,则// |
C.若m//n,m,则n | D.若m//,,则m |
A.过平面外一点可以作无数条直线与平面平行 |
B.与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行 |
C.若直线垂直平面内的两条相交直线,则直线必垂直平面 |
D.垂直于同一个平面的两条直线平行 |
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