题目

题型：不详难度：来源：

（12分）（2011•福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．

（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

答案

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

解析

试题分析：（I）由已知容易证PA⊥CE，CE⊥AD，由直线与平面垂直的判定定理可得
（II）由（I）可知CE⊥AD，从而有四边形ABCE为矩形，且可得P到平面ABCD的距离PA=1，代入锥体体积公式可求
解：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，
所以PA⊥CE，
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD
又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD
（II）由（I）可知CE⊥AD
在Rt△ECD中，DE=CDcos45°=1，CE=CDsin45°=1，又因为AB=CE=1，AB∥CE
所以四边形ABCE为矩形
所以
=
又PA⊥平面ABCD，PA=1
所以
点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，运算求解的能力；考查数形结合思想，化归与转化的思想．