题目

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD。
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值。

答案

解：（1）由题设知，BF∥CE，
所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，
设P为AD的中点，连结EP、PC
因为
所以
同理
又FA⊥平面ABCD，
所以EP⊥平面ABCD
而PC、AD都在平面ABCD 内，故EP⊥PC，EP⊥AD
由AB⊥AD，可得PC⊥AD
设FA=a，则EP=PC=PD=a，
故∠CED= 60°
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°；
（2）因为DC=DE且M为CE的中点，
所以DM⊥CE．连结MP，则MP⊥CE
又MP∩DM =M，
故CE⊥平面AMD
而CE平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE；
（3）设Q为CD的中点，连结PQ、EQ
因为CE=DE，
所以EQ⊥CD
因为PC=PD，
所以PQ⊥CD，
故∠EQP为二面角A-CD-E的平面角
由（1）可得，EP⊥PQ，
于是在Rt△EPQ中，
所以二面角A-CD-E的余弦值为。