题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，已知在正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点。
（1）求直线B₁C与DE所成角的余弦值；
（2）求证：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的余弦值。

答案

解：（1）如图，连接A，D，则由A₁D∥B₁C知，B₁C与DE所成的角即为A₁D与DE所成的角，
连接A₁E，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，则
∴
∴直线B₁C与DE所成角的余弦值是。
（2）取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连接BF，EG，GF
∵CD⊥平面BCC₁B₁，且BF平面BCC₁B₁，
∴CD⊥BF
又∵BF⊥B₁C，CD∩B₁C=C，
∴BF⊥平面B₁CD
又∵
∴
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥GE，
∴GE⊥平面B₁CD
∵GE平面EB₁D，
∴平面EB₁D⊥平面B₁CD。
（2）连接EF
∵CD⊥B₁C，GF∥CD，
∴GF⊥B₁C
又∵GE⊥平面B₁CD，
∴EF⊥B₁C，
∴∠EFG是二面角E-B₁C-D的平面角，
设正方体的棱长为a，则在△EFC中，
∴
∴二面角E-B₁C-D的余弦值。