在正四面体ABCD（各棱都相等）中，E是BC的中点，则异面直线AE与CD所成的角的余弦值为______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

在正四面体ABCD（各棱都相等）中，E是BC的中点，则异面直线AE与CD所成的角的余弦值为______．

答案

取BD的中点F，连接AF、EF，
∵E、F分别是BC、BD的中点，∴EF∥CD，
∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角，
设正四面体ABCD的棱长为2，则AE=AF=

，EF=1，
在△AEF中，cos∠AEF=

AF2+EF2-AE2

2×AF×EF

3+1-3

2×

．
故答案是

核心考点

试题【在正四面体ABCD（各棱都相等）中，E是BC的中点，则异面直线AE与CD所成的角的余弦值为______．】；主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；
（1）求异面直线DC与PB所成的角的余弦值；
（2）求直线PB和平面ABCD所成角的正弦值．
（3）求二面角P-AB-C的余弦值．魔方格

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是CC₁、C₁D₁的中点，则异面直线EF和BD所成的角的大小为（　　）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°

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如图α-l-β是120°的二面角，A、B两点在棱l上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°．
（1）求三棱锥D-ABC的体积；
（2）求二面角D-AC-B的大小．
（3）求异面直线AB、CD所成的角．魔方格

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在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B、A₁P（如图2）
魔方格

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-A₁P-F的大小（用反三角函数表示）．

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在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC₁的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

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