题目

题型：不详难度：来源：

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．
（1）求证：C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求异面直线AD₁与C₁O所成角的大小．

答案

证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴A₁A

∥

.

CC₁，
∴A₁ACC₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC且 A₁C₁=AC．
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，
∴AOC₁O₁是平行四边形．
∴C₁O∥AO₁，AO₁⊂面AB₁D₁，C₁O⊄面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）连接BC₁，C₁D，
∴ABC₁D₁是平行四边形．
∵AD₁∥BC₁，
∴∠BC₁O为AC₁与B₁C所成的角．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BC₁=C₁D=BD．
又O是BD的中点，
∴∠BC₁O=30°
∴异面直线AD₁与 C₁O所成角为30°．