题目

题型：不详难度：来源：

已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁=2，D、D₁分别是AB、A₁B₁的中点，平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁，异面直线AB₁和C₁B互相垂直.
(1)求证: AB₁⊥C₁D₁；
(2)求证: AB₁⊥面A₁CD；
(3)若AB₁=3，求直线AC与平面A₁CD所成的角.

答案

(1) 证明略，(2)证明略(3)

解析

 (1)证明: ∵A₁C₁=B₁C₁，D₁是A₁B₁的中点，
∴C₁D₁⊥A₁B₁于D₁，
又∵平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴C₁D₁⊥平面A₁B₁BA，
而AB₁平面A₁ABB₁，∴AB₁⊥C₁D₁ 
(2)证明:连结D₁D，
∵D是AB中点，∴DD₁CC₁，∴C₁D₁∥CD，
由(1)得CD⊥AB₁，又∵C₁D₁⊥平面A₁ABB₁，C₁B⊥AB₁，
由三垂线定理得BD₁⊥AB₁，
又∵A₁D∥D₁B，∴AB₁⊥A₁D而CD∩A₁D=D，∴AB₁⊥平面A₁CD 
(3)解 由(2)AB₁⊥平面A₁CD于O，
连结CO₁得∠ACO为直线AC与平面A₁CD所成的角，
∵AB₁=3，AC=A₁C₁=2，∴AO=1，∴sinOCA=，
∴∠OCA=.