题目

题型：解答题难度：一般来源：湖北模拟

已知f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞0，且a≠1)．
（Ⅰ）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（Ⅱ）若不等式|x-a|≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，解关于x的不等式f-1(

1

2x

)＜loga

1+x

1-x

．

答案

（I）由y=

ax-1

ax+1

⇒ax=

1+y

1-y

⇒x=loga

1+y

1-y

，
交换x、y得：y=loga

1+x

1-x

，（4分）
又由ax=

1+y

1-y

＞0⇒y∈(-1，1)，
∴f^-1（x）=loga

1+x

1-x

（-1＜x＜1）；（6分）
（II）由

|-1-a|=3 |5-a|=3

⇒a=2，（8分）
∵f^-1（x）=log2

1+x

1-x

=log2(-1-

2

x-1

)在定义域（-1，1）内单调递增，
∴f-1(

1

2x

)＜log2

1+x

1-x

⇔f-1(

1

2x

)＜f-1(x)⇔-1＜

1

2x

＜x＜1⇔

x＜- 1 2 或x＞ 1 2 - 2 2 ＜x＜0或x＞ 2 2 x＜1

⇔x∈(-

2

2

，-

1

2

)∪(

2

2

，1)．（12分）