题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知四棱锥 的直观图和三视图如图所示， 是 的中点.
（Ⅰ）若 是 上任一点，求证：；
（Ⅱ）设, 交于点，求直线 与平面 所成角的正弦值.

答案

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）由该四棱锥的三视图可知，四棱锥的底面是边长为2和1的矩形，侧棱平面，且.

∵
∴平面. ∴．
又在中，∵,是的中点，
∴．
∵,∴平面．
∴.                          6分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，平面,
∴平面平面,且交线为，
∴在面内过做，垂足为,

则必有平面．连接则即
为直线 与平面 所成角.            8分
在中，．
在中，．
∴直线 与平面 所成角的正弦值为.                         12分
解法二：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则,,,,．
∴.
设是平面的一个法向量，则由 得 即 
取得.
而，∴．
设直线 与平面 所成角为，则．
∴直线 与平面 所成角的正弦值为.                        12分