题目
题型:不详难度:来源:
(1)求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值;
(2)在线段BC1上确定一点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
答案
解析
试题分析:(1)解决这类问题的思路是,根据几何体的结构特征找出或作出所求的线面角,再设法利用三角形知识求其正弦;或是建立适当的空间直角坐标系,借助法向量和直线的方向向量求直线与平面所成角的正弦;由于该问题中的几何体中棱的垂直关系较为明显,可采用后者.
(2)在(1)中已建立空间直角坐标系的基础上,用向量法解决垂直问题很是方便.
设D(x,y,z)是线段BC1上一点,且=λ(λ∈[0,1]),求出向量的坐标,利用互相垂直的向量的数量积为零建立方程,求出的值.
试题解析:(1)∵AA1C1C为正方形,∴AA1⊥AC.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C,
∴AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥AC,AA1⊥AB.
由已知AB=3,BC=5,AC=4,∴AB⊥AC.
如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,
则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
∴=(0,3,-4),=(4,0,0),=(4,-3,0).
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则
即
令z=3,则x=0,y=4,∴n=(0,4,3).
设直线B1C1与平面A1BC1所成的角为θ,则
sinθ=|cos<,n>|===.
故直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为. 6分
(2)设D(x,y,z)是线段BC1上一点,且=λ(λ∈[0,1]),
∴(x,y-3,z)=λ(4,-3,4),
∴x=4λ,y=3-3λ,z=4λ,
∴=(4λ,3-3λ,4λ).
又=(0,3,-4),
由·=0,得3(3-3λ)-4×4λ=0,
即9-25λ=0,解得λ=∈[0,1].
故在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.
此时=λ=. 12分
核心考点
试题【如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求直线B1C1与平面A1BC1所成】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.30° | B.45° | C.60° | D.90° |
A.30° | B.45° | C.60° | D.90° |
A. | B. | C. | D. |
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