题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，A₁A=AC=BC=1，A₁B=，
(Ⅰ)求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
(Ⅱ)如果D为AB中点，求证：BC₁∥平面A₁CD。

答案

证明：(Ⅰ)因为∠A₁AC=60°，A₁A=AC=1，
所以△A₁AC为等边三角形，所以A₁C=1，
因为BC=1，A₁B=，
所以，A₁C²+BC²=A₁B²，
所以∠A₁CB=90°，A₁C⊥BC，
因为BC⊥AA₁，BC⊥A₁C，AA₁平面ACC₁A₁，
A₁C平面ACC₁A₁，AA₁∩A₁C=A₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁， 
因为BC平面A₁BC，
所以，平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁。(Ⅱ)连接AC₁交A₁C于点D，连接OD，
因为ACC₁A₁为平行四边形，所以O为AC₁的中点， 
因为D为AB的中点，
所以，OD∥BC₁， 
因为OD平面A₁CD，BC₁平面A₁CD，
所以，BC₁∥平面A₁CD。