题目

题型：河南省模拟题难度：来源：

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=120°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C=4，
（Ⅰ）求证：平面A′DE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求证：BF∥平面A′DE。

答案

证明：（Ⅰ）由题意得△A′DE是△ADE沿DE翻转而成，
所以△A′DE≌△ADE，
∵∠ABC=120°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=60°，
又∵AD=AE=2，
∴△A′DE和△ADE都是等边三角形，
∵M是DE的中点，
∴A′M⊥DE，A′M，
由∵在△DMC中，MC²=4²+1²-2×4×1·cos60°，
∴，
在△A′MC中，A′M²+MC²=，
∴△A′MC是直角三角形，
∴A′M⊥MC，
又∵A′M⊥DE，MC∩DE=M，
∴A′M⊥平面ABCD，
又∵A′M平面A′DE，
∴平面A′DE⊥平面BCD；
（Ⅱ）选取DC的中点N，连接FN，NB，
∵A′C= DC=4，F，N点分别是A′C，DC中点，
∴FN∥A′D，
又∵N，E点分别是平行四边形ABCD的DC，AB的中点，
∴BN∥DE，
又∵A′D∩DE=D，FN∩NB=N，
∴平面A′DE∥平面FNB，
∵FB平面FNB，
∴FB∥平面A′DE。