题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB= 90°， AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点，
(Ⅰ)求证：PE⊥CD；
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积；
(Ⅲ)求PC与平面PDE所成角的正弦值。

答案

(Ⅰ)证明：因为AD⊥侧面PAB，PE平面PAB，
所以AD⊥PE，
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的巾点，
所以PE⊥AB，
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD，而CD平面ABCD，
所以PE⊥CD。
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：PE⊥平面ABCD，
所以PE是四棱锥P-ABCD的高，
由DA=AB=2，BC=AD，可得BC=1，
因为△PAB是等边三角形，
可求得，
所以，。(Ⅲ)解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，
则，
，
设为平面PDE的法向量，
由，即，
令x=1，可得，
设PC与平面PDE所成的角为θ，
，
所以，PC与平面PDE所成的角的正弦值为。