题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是CD，A₁D₁中点，
(Ⅰ)求证：AE⊥BF；
(Ⅱ)求证：BF⊥平面AB₁E；
(Ⅲ)棱CC₁上是否存在点P使AP⊥BF，若存在，确定点P位置，若不存在，说明理由。

答案

(Ⅰ)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，
∴∠ABG=∠DAE，
∴AE⊥BG，
又FG∩BG=G，
∴AE⊥平面BFG，
∴AE⊥BF。
(Ⅱ)证明：连接A₁B，则AB₁⊥A₁B，
又AB₁⊥A₁F，
∴AB₁⊥平面A₁BF，
∴AB₁⊥BF，AE⊥BF，
又AE∩AB₁=A，
∴BF⊥平面AB₁E。 
(Ⅲ)解：存在，取CC₁中点P，即为所求，连接EP，C₁D，
∴EP∥C₁D，C₁D∥AB₁，
∴EP∥AB₁，
∴AP平面AB₁E，
由(Ⅱ)知BF⊥平面AB₁E，
∴AP⊥BF。