题目

题型：天津模拟题难度：来源：

一个多面体的三视图及直观图如图所示，M，N分别是A₁B，B₁C₁的中点．
(Ⅰ)求证：MN⊥平面A₁BC；
(Ⅱ)求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小；
(Ⅲ)求二面角A-A₁B-C的大小．

答案

解：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA₁⊥平面ABC，
且AC⊥BC，AC=BC=CC₁=a，
(Ⅰ)连接AC₁，AB₁，因为BC⊥平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AC₁，在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁，
又因为BC∩A₁C=C，
所以AC₁⊥平面A₁BC，
由正方形性质知AB₁过A₁B的中点M，
在△AB₁C₁中，MN∥AC₁，
所以MN⊥平面A₁BC。 (Ⅱ)由题意CA，CB，CC₁两两垂直，
故以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
又AC=BC=CC₁=a，则B(0，a，0)，B₁(0，a，a)，A(a，0，0)，
，
则，
又AC₁⊥平面A₁BC，
故为平面A₁BC的法向量，，
所以，，
，
因此直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小为30°。
(Ⅲ)AB中点E的坐标为，
易知为平面AA₁B的法向量，又为平面A₁BC的法向量，
设二面角A-A₁B-C为θ，
则，
由题意，知θ为锐角，所以θ=60°，
即二面角A-A₁B-C为60°。