题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为正三角形，AB=2，，PC⊥BD，E为AB的中点。
（1）证明：PE⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PD-B的大小。

答案

解：如图
（1）设BD与CE交于点O

∴∠OBC+∠OCB =90°
从而
即BD⊥CE，
又PC⊥BD，且PC∩CE=C，
∴BD⊥平面PCE
∴BD⊥PE
又因为△PAB为正三角形，E为AB的中点，
∴PE⊥AB
又∵AB∩BD=B
∴PE⊥平面ABCD。
（2）PE⊥平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD
又AD⊥AB，
∴平面PAB⊥平面PAD
设F为PA的中点，连接BF，则BF⊥PA，
∴BF⊥平面PAD
过点F作FG⊥PD，连接BG，则BG⊥PD
∠BGF为二面角A-PD-B的平面角
在△PFG及△BGF中，

在△PAB中，
在Rt△BFC中，
∴∠BGF=arctan3，
即二面角A-PD-B的大小为arctan3。