题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点，
(1)求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
(2)求证：AB₁∥平面A₁DC；
(3)求二面角D-A₁C-A的余弦值。

答案

解：(1)因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
又因为A₁D平面A₁B₁C₁，
所以CC₁⊥A₁D，
又易知A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁的中点，
所以A₁D⊥B₁C₁，
因为CC₁∩B₁C₁=C₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C． (2)连接AC₁，交A₁C于点O，连接OD，如图，
因为四边形ACC₁A₁为正方形，所以O为AC₁的中点，
又D为B₁C₁的中点，
所以OD为△AB₁C₁的中位线，
所以AB₁∥OD，
因为OD平面A₁DC，AB₁平面A₁DC，
所以AB₁∥平面A₁DC。
(3)因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设AB=1，则C(0，1，0)，B(1，0，0)，A₁(0，0，1)，，
，
设平面A₁DC的一个法向量为n=(x，y，z)，
则，即，
取x=1，得n=(1，-1，-1)，
又因为AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的一个法向量为，
，
因为二面角D-A₁C-A是钝二面角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为。