题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，AC∩BD=O，侧棱AA₁与底面ABCD所成的角为60°，A₁O⊥平面ABCD，F为DC₁的中点，
(1)证明：BD⊥AA₁；
(2)证明：OF∥平面BCC₁B₁；
(3)求二面角D-AA₁-C的余弦值．

答案

解：(1)∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，
∴四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
又A₁O⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
∴A₁O⊥BD，
又∵AC∩A₁O=O，AC、A₁O平面A₁ACC₁，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵AA₁平面A₁ACC₁，
∴BD⊥AA₁． (2)连接BC₁，如图所示，
∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，
∴O是BD的中点，
又∵点F为DC₁的中点，
∴在△DBC₁中，OF∥BC₁，
∵OF平面BCC₁B₁，BC₁平面BCC₁B₁，
∴OF∥平面BCC₁B₁。
(3)以O为坐标系的原点，分别以OA，OB，OA₁所在直线
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
∵侧棱AA₁与底面ABCD所成的角为60°，A₁O⊥平面ABCD，
∴∠A₁AO=60°，在Rt△A₁AO中，可得AO=1，，
在Rt△AOB中，，
∴A(1，0，0)，，
设平面AA₁D的一个法向量为n₁=（x₁，y₁，z₁），
∴，
∵，
∴，令z₁=1，则，
又∵BD⊥平面A₁ACC₁，
所以，平面A₁ACC₁的一个法向量为，
∴，
∵二面角D-AA₁-C的平面角为锐角，
故二面角D-AA₁-C的余弦值是。