题目

题型：天津模拟题难度：来源：

如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕，将△ADE向上折起，使D到P，且PC=PB。
（1）求证：PO⊥面ABCE；
（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值。

答案

解：（1）PA=PE，OA=OE，
∴PO⊥AE  ①
取BC的中点F，连OF，PF，如图
∴OF∥AB，
∴OF⊥BC
∵PB=PC
∴BC⊥PF
∴BC⊥面POF
从而BC⊥PO  ②
由①②可得PO⊥面ABCE。
（2）作OG∥BC交AB于G，则OG⊥OF
如图建立直角坐标系
则A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），

设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），
则
∴AC与面PAB所成角θ的正弦值。