题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD，
（Ⅰ）求异面直接PD与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大小；
（Ⅲ）设点M在棱PC上，且=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD。

答案

解：∵PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥BD，
又，
由平面几何知识得：，
（Ⅰ）过D作DE∥BC交AB于E，连结PE，
则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴，
∴，
又AB∥DC，
∴四边形EBCD是平行四边形。
∴，
∴E是AB的中点，且，
又，
∴△PEA为直角三角形，
∴，
在△PED中，由余弦定理得
，
故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为。
（Ⅱ）连结OE，由（Ⅰ）及三垂线定理知，
∠PEO为二面角P-AB-C的平面角，
∴，
∴，
∴二面角P-AB-C的大小为45°。
（Ⅲ）连结MD，MB，MO，
平面平面BMD，
∵PC⊥OM，
又在Rt△POC中，，
∴，
∴，
故λ=2时，PC⊥平面BMD。