题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4。
（1）证明PQ⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AQ与PB所成的角；
（3）求点P到平面QAD的距离。

答案

解：（1）连结AC、BD，设
由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，
所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD
从而P、O、Q三点在一条直线上，
所以PQ⊥平面ABCD。
（2）由题设知，ABCD是正方形，
所以AC⊥BD
由（1），QO⊥平面ABCD
故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），
由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，-2），B（0，，0）
所以，
于是
从而异面直线AQ与PB所成的角是。（3）由（2），点D的坐标是（0，-，0），，，
设是平面QAD的一个法向量，
由得
取x=1，得
所以点P到平面QAD的距离。